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欧拉公式的三种证明

October 5, 2010 2 comments

欧拉公式堪称数学中最经典的公式,它巧妙地将\piei01用一个式子统一起来:

e^{i\pi}+1=0

而它则实际上源自于下面这个公式:

e^{ix}=\cos x + i \sin x

那么,这个式子究竟是怎么得到的呢?下面我们给出三种证明。

证明一. 考虑e^{ix}的级数展开:

e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^6}{6!}+\frac{(ix)^7}{7!}+\frac{(ix)^8}{8!}+\ldots

=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{ix^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}+\ldots

=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right)+i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right)

=\cos x + i \sin x

证明二. 考虑到

\frac{d}{dx}e^{ix}=\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}

=i\sum_{n=1}^{\infty}i^{n-1}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}

=i e^{ix}

定义函数

f(x)=(\cos x - i \sin x )\cdot e^{ix}

则有\frac{d}{dx}f(x)=0

这意味着f(x)是常数函数,又f(0)=1,所以

1=(\cos x - i \sin x )\cdot e^{ix}

所以e^{ix}=\cos x + i \sin x

证明三. 定义函数f(x)=\cos x + i \sin x,则有

\frac{d}{dx}f(x)=-\sin x + i \cos x

=i(i \sin x + \cos x)=i f(x)

这意味着f(x)e^{ix}都是此微分方程的解,又因为它们的边值f(0)=e^{i\cdot 0},根据存在和唯一性定理,有f(x)=e^{ix},即

e^{ix}=\cos x + i \sin x

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一个十分简短的证明:e是无理数

October 4, 2010 Leave a comment

这个证明来自Steve Kifowit的一篇论文

首先我们不加证明地给出下面的定理(或这里):

定理. 若一交错级数收敛,那么第n项余项的绝对值不大于级数的第(n+1)项的绝对值。

根据微积分的知识,我们有

e^x=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}

x=-1,则有

e^{-1}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{i!}

这是一个交错级数。同时,记S_n=\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i!},显然S_n是一个有理数,且可以写成\frac{M}{n!}的形式,其中M是一个整数。根据上面的定理有

若n为偶数,则S_n-\frac{1}{(n+1)!}<e^{-1}<S_n

若n为奇数,则S_n<e^{-1}<S_n+\frac{1}{(n+1)!}

所以对任意自然数n,e^{-1}都严格地处在\frac{a}{(n+1)!}\frac{a+1}{(n+1)!}之间,其中a是一个整数。这意味着e^{-1}不能表示成\frac{M}{(n+1)!}的形式,其中M是一个整数,而这对任意的自然数n都成立。然而,如果e是一个有理数,那么一定存在某个自然数n,使得e^{-1}可以表为\frac{M}{(n+1)!}的形式。矛盾。所以e是无理数。