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数学趣题:铲雪机


下雪了。雪花以恒定的速率落下。过了一会儿,一辆铲雪车开始铲雪。铲雪车在单位时间内所铲的雪的体积是固定的,也就是说,铲雪车前进的速度和雪的厚度成反比。已知这辆铲雪车在第一小时内行走的距离是第二小时内行走的距离的两倍,求铲雪车开始铲雪的时间距离开始下雪的时间有多久。

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解答:

设在t小时时雪的厚度为tl,且铲雪车每小时铲雪的体积固定为V,则在t小时时铲雪车的速度为\frac{V}{tl}。设下雪开始后x小时铲雪车开始工作,则

在第一小时所行走的距离应为

\int_{x}^{x+1}\frac{V}{tl} dt=\frac{V}{l} \ln{\frac{x+1}{x}}

在第二小时所行走的距离应为

\int_{x+1}^{x+2}\frac{V}{tl} dt=\frac{V}{l} \ln{\frac{x+2}{x+1}}

由题意知

\frac{V}{l} \ln{\frac{x+1}{x}}=2\cdot\frac{V}{l} \ln{\frac{x+2}{x+1}}=\frac{V}{l} \ln{(\frac{x+2}{x+1})^2}

\frac{x+1}{x}=(\frac{x+2}{x+1})^2

解得x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}

即下雪\frac{\sqrt{5}-1}{2}小时后,铲雪车开始工作。

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