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一个十分简短的证明:e是无理数


这个证明来自Steve Kifowit的一篇论文

首先我们不加证明地给出下面的定理(或这里):

定理. 若一交错级数收敛,那么第n项余项的绝对值不大于级数的第(n+1)项的绝对值。

根据微积分的知识,我们有

e^x=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}

x=-1,则有

e^{-1}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{i!}

这是一个交错级数。同时,记S_n=\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i!},显然S_n是一个有理数,且可以写成\frac{M}{n!}的形式,其中M是一个整数。根据上面的定理有

若n为偶数,则S_n-\frac{1}{(n+1)!}<e^{-1}<S_n

若n为奇数,则S_n<e^{-1}<S_n+\frac{1}{(n+1)!}

所以对任意自然数n,e^{-1}都严格地处在\frac{a}{(n+1)!}\frac{a+1}{(n+1)!}之间,其中a是一个整数。这意味着e^{-1}不能表示成\frac{M}{(n+1)!}的形式,其中M是一个整数,而这对任意的自然数n都成立。然而,如果e是一个有理数,那么一定存在某个自然数n,使得e^{-1}可以表为\frac{M}{(n+1)!}的形式。矛盾。所以e是无理数。

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